牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
弧微分是用一条线段的长度来近似代表一段弧的长度。设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数，在曲线Y=f(x)上取定点Mo(xo，f(xo))作为计算曲线弧长的基点，M(x，y)是曲线上任意一点。 规定：
(1)自变量x增大的方向为曲线的正向;(2)当弧段MoM的方向与曲线正向一致时，M0M的弧长S>0;相反时，S<0。
连续系统中, 应用拉式变换的目的, 是把描述系统的微分方程转换为s的代数方程, 然后写出系统的传递函数, 即可用拉式反变换法求出系统的时间响应, 避免了计算积分.
离散系统 中, 应用z变换, 可将s的超越方程或者描述离散系统的差分方程, 转换为z的代数方程, 然后写出离散系统的脉冲传递函数(z传递函数), 再用z 反变换, 求出离散系统的时间响应.
连续系统中, 应用拉式变换的目的, 是把描述系统的微分方程转换为s的代数方程, 然后写出系统的传递函数, 即可用拉式反变换法求出系统的时间响应, 避免了计算积分.
离散系统 中, 应用z变换, 可将s的超越方程或者描述离散系统的差分方程, 转换为z的代数方程, 然后写出离散系统的脉冲传递函数(z传递函数), 再用z 反变换, 求出离散系统的时间响应.
微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。
罗尔定理
内容：
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。
拉格朗日定理
内容：
如果函数 f(x) 满足：
1)在闭区间[a,b]上连续；
2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
（或存在0<h<1，使f(b)-f(a)=f′[a+h(b-a)](b-a) 成立）
拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线
柯西定理
内容：
如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
中值定理分为： 微分中值定理和积分中值定理。
以上三个为微分中值定理。
定积分第一中值定理为：
f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）
注：积分中值定理可以根据介值定理推出，所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。
01罗尔定理
在学习罗尔定理之前，先引进一个极值的定义：设函数f（x）在 X的某邻域U（X,＄）内有定义，若对此邻域内的任何点x，都有f(x)≤f（X）或f（x）≥f（X）则称函数f（x）在X取得极大值或极小值f（X）,且称X是函数的极大值点或极小值点。
罗尔定理：若函数f满足如下条件：
（1）f在闭区间［a,b］上连续，
（2）f在开区间（a,b）内可导，
（3）f（a）＝f（b）
则在（a,b）上至少存在一点＄，使得f′（＄）＝0
例题：例1、设f（x）在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f（1）＝0，证明至少存在一点＆∈（0，1），使f（&）＋&f′（&）＝0.
证：设辅助函数F(x)＝xf（x）,显然
F（x）在［0，1］上满足罗尔定理条件，
故至少存在一点&∈（0，1），使F′（＆）＝f（＆）＋&f（&）＝0
02拉格朗日中值定理
在学习拉格朗日中值定理之前，先承上启下引进个费马引理：设函数f(x)在点X的某个邻域(X－＆,X＋&)内有定义，并且在X点可导，且f（x）≤（或≥）f(X)，则f′(X)＝0.
拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：
（1）f在闭区间［a,b］上连续，
（2）f在开区间（a,b）内可导，
则在（a b）上至少存在一点&，使得f′（&）＝f（b）－f（a）╱b－a.
例题：证明arctanb＋ arctana≤b－a,其中a＜b.
证：设f（x）＝arctanx,则
f（b）－f（a）＝f′（&）（b－a）＝1／1+& （b－a）,a＜&＜b
从而得arctanb － arctana ＝ b－a
03柯西中值定理
现给出一个形式更一般的微分中值定理，柯西中值定理：设函数f和g满足，
（1）在［a，b］上都连续，
（2）在（a，b）上都可导，
（3）f＇（x）和g＇（x丿不同时为零，
（4）g（a）≠g（b）
则存在&∈（a，b），使得f＇（&）／g＇（&）＝f（b）－f（a）／g（b）一g（a）.
中值定理公式：f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
全微分继承了部分一元函数实函数（定义域和值域为实数的函数）的微分所具有的性质，但两者间也存在差异。从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理。
充分条件
一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是：此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微。
对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数在点的某邻域内的偏导数与存在，且偏导函数与在点都连续，则此函数在点可微。需要注意的是，此条件并非充要条件，存在偏导函数不连续但是多元函数可全微分的情况。如果不满足这个充分条件，那么一个多元函数能否全微分则必须由定义加以证明，即验证是否成立。
必要条件
一个多元函数在某点的全微分存在的必要条件是：若多元函数在某点可微，则此函数在该点必连续。
对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数在点可微，则此函数在点必连续。
全微分存在另一个必要条件是：若多元函数在某点可微，则此函数在该点的全微分可表示为各自变量的变化量与该自变量在该点的偏导数之积的和。
对于二元函数，此定理可表述为：二元函数在点可微，则此函数在点的全微分
在数学分析中，勒贝格定理，或称黎曼-勒贝格定理是一个傅里叶分析方面的结果。这个定理有两种形式，分别是关于周期函数（傅里叶理论中关于傅里叶级数的方面）和关于在一般实数域R上定义的函数（傅里叶变换的方面）。
在任一种形式下，定理都说明了可积函数在傅里叶变换后的结果在无穷远处趋于0。这个结果也可以适用于局部紧致的阿贝尔群。
微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒定理。
应用如下：
1、应用中值定理可以证明微分学中的许多定理，这些定理在研究函数性质上起着重要作用。
2、中值定理的主要应用是对等式、不等式的证明及归零问题的解决，应用过程中的主要方法是构造辅助函数及多次运用中值定理。
3、泰勒定理可以应用在近似计算上。
4、对某些不能解决的极限问题，应用泰勒定理可以解决。